YOYO每次解答出这样的数学题以后，我都有换手机的冲动。
我们来逐步解决第19题的每一问。
19. (1) 求函数 $ f(x) = 5\cos x - \cos 5x $ 在区间 $ x \in \left[0, \frac{\pi}{4}\right] $ 的最大值。
分析：
首先计算 $ f(x) $ 的导数：
f´(x) = -5\sin x + 5\sin 5x = 5(\sin 5x - \sin x).
2. 利用三角恒等式 $ \sin A - \sin B = 2\cos \left(\frac{A+B}{2}\right) \sin \left(\frac{A-B}{2}\right) $，得到：
\sin 5x - \sin x = 2\cos \left(\frac{5x+x}{2}\right) \sin \left(\frac{5x-x}{2}\right) = 2\cos 3x \sin 2x.
所以：
f´(x) = 5 \cdot 2\cos 3x \sin 2x = 10 \cos 3x \sin 2x.
3. 在区间 $ x \in \left[0, \frac{\pi}{4}\right] $，考察 $ \cos 3x $ 和 $ \sin 2x $ 的符号： - $ \cos 3x $ 在 $ [0, \frac{\pi}{4}] $ 上非负。 - $ \sin 2x $ 在 $ [0, \frac{\pi}{4}] $ 上非负。 因此，$ f´(x) \geq 0 $ 在区间上恒成立，说明 $ f(x) $ 在区间 $ \left[0, \frac{\pi}{4}\right] $ 上单调递增。 4. 最大值出现在区间的右端点 $ x = \frac{\pi}{4} $：
f\left(\frac{\pi}{4}\right) = 5\cos \frac{\pi}{4} - \cos \left(5 \cdot \frac{\pi}{4}\right).
- $ \cos \frac{\pi}{4} = \frac{\sqrt{2}}{2} $ - $ \cos \left(5 \cdot \frac{\pi}{4}\right) = \cos \left(\frac{5\pi}{4}\right) = -\frac{\sqrt{2}}{2} $ 所以：
f\left(\frac{\pi}{4}\right) = 5 \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} - \left(-\frac{\sqrt{2}}{2}\right) = 5 \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} + \frac{\sqrt{2}}{2} = 3\sqrt{2}.
因此，$ f(x) $ 的最大值为：
\boxed{3\sqrt{2}}
--- ### **19. (2) 给定 $ \theta \in (0, \pi) $，设 $ a $ 为实数，证明：存在 $ y \in $，使得 $ \cos y = \cos \theta $。** **分析：** 1. 利用余弦函数的周期性和对称性： - 余弦函数满足 $ \cos(\pi - x) = -\cos(x) $。 - 余弦函数 $ \cos x $ 在区间 $ [0, \pi] $ 上关于 $ x = \frac{\pi}{2} $ 对称。 2. 给定 $ \theta \in (0, \pi) $，我们知道 $ \cos \theta = \cos(\pi - \theta) $。 3. 定义区间 $ $： - 当 $ x = \theta $ 时，$ \cos \theta = \cos \theta $。 - 当 $ x = \pi - \theta $ 时，$ \cos(\pi - \theta) = \cos \theta $。 因此，区间 $ $ 上至少存在一个点 $ y $，使得 $ \cos y = \cos \theta $。 **证明完成。** --- ### **19. (3) 已知 $ b \in \mathbb{R} $，若存在 $ \varphi \in \mathbb{R} $ 使得 $ 5\cos x - \cos(5x + \varphi) \leq b $ 对所有 $ x \in \mathbb{R} $ 恒成立，求 $ b $ 的最小值。** **分析：** 1. 考察不等式 $ 5\cos x - \cos(5x + \varphi) \leq b $ 对所有 $ x \in \mathbb{R} $ 恒成立： - $ 5\cos x $ 的最大值为 5。 - $ \cos(5x + \varphi) $ 的取值范围为 $ [-1, 1] $。 2. 不等式的左侧 $ 5\cos x - \cos(5x + \varphi) $ 的最大值： - 当 $ \cos x = 1 $ 时， $ 5\cos x = 5 $。 - 选择合适的 $ \varphi $ 使得 $ \cos(5x + \varphi) = -1 $。 因此：
5\cos x - \cos(5x + \varphi) \leq 5 - (-1) = 6.
3. 为了保证不等式对所有 $ x \in \mathbb{R} $ 恒成立，$ b $ 的最小值为：
\boxed{6}
--- **总结：** 1. (1) $ f(x) $ 的最大值为 $ 3\sqrt{2} $。 2. (2) 存在 $ y \in $，使得 $ \cos y = \cos \theta $。 3. (3) $ b $ 的最小值为 6。 |
